Grahamovo číslo: monstrum číselného vesmíru

Matematik Ronald Graham kdysi definoval číslo tak obrovské, že jeho úplný zápis by se nevešel ani do vesmíru. Jeho jméno: Grahamovo číslo. Vzniklo jako řešení jedné kombinatorické hádanky z oblasti Ramseyovy teorie – ale postupně se stalo kultovním fenoménem mezi čísly.

Pro srovnání: běžný googol(10¹⁰⁰) je jako kulička vedle planety. A googolplex(10^(10¹⁰⁰)) už je tak velký, že by se nevešel do vesmíru, i kdyby každá částice byla použita jako zapisovací médium. Ale Grahamovo číslo je neporovnatelně větší. Tak velké, že zápis vyžaduje speciální notaci (Knuthovu šipku) a běžné výpočty absolutně nestačí. (New Scientist)

Proč by to mělo někoho zajímat?

Zdánlivě jde o matematický kuriozní extrém – ale pod povrchem se skrývá hlubší otázka: Existuje nějaký „konec“ matematiky? Jinými slovy, je možné, že existují čísla, na která lidský jazyk, logika nebo výpočetní systémy nestačí?

Matematikové jako Harvey Friedman se domnívají, že ano – a Grahamovo číslo (a jemu podobné) by mohly ukazovat právě na okraje matematického poznání. Na místa, kde běžné axiomy, logika a formální důkazy ztrácejí účinnost. 

Mimo intuici, mimo zápis, mimo běžné pochopení

Grahamovo číslo nelze zapsat ve tvaru „10 na něco“. Nejde o číslo, které má jen hodně nul. Má tak komplexní strukturu, že jeho první číslice je známa – ale poslední ne. A to z čistě logických důvodů: nemáme nástroje, jak se k ní dopočítat.

Celý zápis začíná jako:

G = 3 ↑↑↑↑ 3

Což v Knuthově šipkové notaci znamená exponenciální věž, kde číselná struktura roste ve vrstvách vyššího a vyššího řádu – a to šestnáctkrát po sobě. Vznikne tak číslo, které není možné ani uložit jako informaci ve vesmíru, protože by to vyžadovalo víc bitů, než kolik existuje částic ve vesmíru.

Nejde o to, jak velké to je. Jde o to, že to vůbec dává smysl

Friedman a další teoretici se pokoušejí zjistit, zda existují matematické výroky, které lze dokázat pouze pomocí čísel větších než Grahamovo – ale nelze je ověřit v běžném rámci aritmetiky. Pokud ano, pak by to znamenalo, že logický systém matematiky má svůj okraj. Bod, kde končí jistota a začíná „matematická mlha“.

To je zásadní filozofický problém – nejen pro matematiku, ale i pro informatiku, teorii důkazů, umělou inteligenci či kryptografii.

Hranice formálního systému: Gödel by se divil

Již v roce 1931 dokázal Kurt Gödel, že každý dostatečně mocný formální systém obsahuje tvrzení, která v něm nelze dokázat ani vyvrátit (Gödelovy věty o neúplnosti). Grahamovo číslo a jeho bratříčci dnes naznačují, že tyto limity nejsou jen teoretické, ale mají konkrétní „číselný obrys (Stanford Encyclopedia of Philosophy).

Jaká je hranice matematiky?

To je hlavní otázka. Pokud existují tvrzení, jejichž důkaz vyžaduje pracovat s čísly většími než Grahamovo, pak lidské poznání má svůj strop. Naše mozky (a možná i počítače) nedokážou obsáhnout pravdu v plné šíři.

Matematikové dnes experimentují s výrokovými systémy, které záměrně vytvářejí extrémní hodnoty, aby testovali, kde se formální důkazová pravidla začnou bortit. A Grahamovo číslo zde slouží jako červená bóje: sem se ještě dostaneme, dál už je jen temnota.

Shrnutí: Číslo jako hranice vesmíru

Grahamovo číslo není jen kuriózní záznam v Guinnessově knize. Je to vědecký nástroj, který pomáhá definovat limity, za nimiž matematika přestává být praktickou vědou a stává se – metafyzikou.

Až se příště budete ptát, kde jsou hranice lidského poznání, zkuste si představit číslo, které je větší než vesmír. A pak si představte, že i tohle číslo je jen začátek.