Definice prvočísla je jednoduchá - jde o takové přirozené číslo, které není bezezbytku dělitelné jiným přirozeným číslem než jedničkou a sebou samým. Opakem prvočísla je pak číslo složené, tj. takové, které lze vyjádřit jako součin menších prvočísel. Např. číslo 42 můžeme vyjádřit jako součin prvočísel 2, 3 a 7 (všimněme si, že číslo 2 je jediné sudé prvočíslo).

Kromě významné role v abstraktní matematické teorii čísel (jsou zde jakýmisi “základními atomy mezi čísly”) jsou prvočísla důležitá například i v aplikacích souvisejících se šifrováním a dešifrováním informací, tedy v oborech kryptografie a kryptologie. Zde se při výběru vhodné šifry často používá tzv. metoda faktorizace, což není nic jiného než proces rozkladu složeného čísla na jeho prvočíselné činitele (prvočinitele).

Euklides a geniální Gauss přinesli první popisy

Prvočísla byla mezi prvními matematickými objekty, které objevili a popisovali již staří antičtí matematikové. Zabýval se jimi také slavný řecký matematik Euklides, a to zhruba tři století před naším letopočtem. Dokonce zřejmě jako první dokázal, že prvočísel je nekonečně mnoho. Ke každému sebevětšímu prvočíslu lze totiž nalézt či zkonstruovat další prvočíslo, které je ještě větší, a tak stále dál, až donekonečna.

Strukturou prvočísel se jako první začal zabývat kolem roku 1800 geniální matematik Carl Friedrich Gauss, který si všiml, že s rostoucí velikostí prvočísel se jejich poměrná frekvence výskytu mezi ostatními čísly postupně snižuje. Byl také schopen přibližně tuto frekvenci obecně spočítat.

O sto let později bylo dokonce dokázáno, že samotná chyba tohoto Gaussova přibližného výpočtu se s rostoucími hodnotami prvočísel také postupně snižuje a přibližuje se k nule. Například víme, že mezi prvními deseti přirozenými čísly najdeme 40 procent prvočísel (jde o čísla 2, 3, 5 a 7), ale mezi všemi deseticifernými přirozenými čísly jich najdeme už jen čtyři procenta.

Bez výkonných počítačů to dnes nejde

Gauss se také jako první zabýval speciálními druhy prvočísel, jejich vlastnostmi, strukturami a jejich propojením do světa rovnic. Obrovské tabulky vedoucí k milionům prvočísel vznikly již v průběhu 19. století. Matematici se tehdy dostali až k prvočíslům ležícím na hranici s číselnou hodnotou 100 milionů, přičemž ještě kolem roku 1800 byla tato hranice stokrát nižší.

Avšak čím větší nějaké přirozené číslo je, tím hůře se testuje, je-li skutečně prvočíslem, nebo ne.
V současnosti se tyto testy prakticky neobejdou bez velmi výkonných počítačů, které jsou dnes schopny vygenerovat, tj. otestovat až miliardy nových prvočísel během sekundy.

Nejstarší algoritmus tohoto typu navrhl jiný velký antický matematik Eratosthenes, proto se mu dodnes říká "Eratosthenovo síto". Z celočíselného seznamu jsou při něm postupně odstraňovány další a další násobky jednotlivých již známých prvočísel. Čísla, která po aplikaci celé této procedury v seznamu nakonec zbydou, tedy vlastně projdou celým tímto komplexním sítem, jsou nová a zároveň větší prvočísla.

V praxi stačí, chceme-li otestovat všechna prvočísla do číselné hranice N, když takto projdeme a vyřadíme násobky všech prvočísel, menších, než je druhá odmocnina z N. Pro ověření prvočísel do hodnoty jednoho milionu konkrétně stačí odfiltrovat složená čísla, která můžeme vygenerovat pomocí prvních 168 prvočísel. Pomocí superpočítačů také dnes matematici odhalují stále rafinovanější struktury a vzorce, které se v tabulkách prvočísel objevují (s pouhou tužkou a papírem už dneska v této oblasti opravdu nikdo nevystačí).

Složité a na první pohled neviditelné struktury

Matematikové tedy zkoumají prvočísla již asi 2300 let, a přesto je zde stále co objevovat. Dnešní matematická teorie prvočísel je opravdu velmi obsáhlá a složitá, avšak ani dnes není zcela úplná. O tom svědčí i fakt, že tento obor matematiky stále přináší nové výzvy a výzkumníkům, kteří se jich úspěšně zhostí, také občas významná ocenění.

Letos 20. března získal za originální výzkum na tomto poli americko-kanadský matematik Robert Langlands tzv. Abelovu cenu, která je norskou analogií Nobelovy ceny za matematiku. Během své prakticky 50 let trvající práce předvedl, jak lze pomocí prvočísel navzájem propojit fakta z tak rozdílných oblastí matematiky, jako jsou teorie čísel, geometrie, algebra a matematická analýza (nauka o funkcích, rovnicích a operacích s nimi).

Tento jeho výzkumný program, navazující mj. i na klasické práce Carla Friedricha Gausse, byl dokonce nazván "Velkou teorií sjednocení v matematice", jako volná analogie podobného programu ve fyzice.

Zajímavá je také otázka, jakými číslicemi prvočísla končí. Kromě jednociferných prvočísel 2 a 5 končí všechna prvočísla číslicemi 1, 3, 7 nebo 9. V 19. století byla odvozena matematická věta, že by se tyto čtyři číslice měly v rámci prvočísel vyskytovat globálně statisticky stejně často, tedy s pravděpodobností 25 procent.

Zvláštní je však chování párů sousedních, tedy bezprostředně "po sobě jdoucích nebo následujících prvočísel", které již zcela pravidelné není. Četnost různých dvojic nebo trojic posledních číslic těchto po sobě následujících prvočísel totiž už úplně stejná není, což naznačil před několika lety výzkum dvou matematiků ze Stanfordské univerzity.

Práce nejméně na další desítky let

Práce této dvojice (Robert Lemke Oliver a Kannan Soundararajan) s názvem "Nečekané tendence v rozložení po sobě jdoucích prvočísel (Unexpected biases in the distribution of consecutive primes)" experimentálně ukázala, že uspořádaná dvojice číslic 3 a 9 u dvou po sobě následujících prvočísel je mnohem častější než totéž pro číslice 7 a 3.

Dále, po jedničce na konci prvního z páru sousedních prvočísel následovala (u prvních několika milionů prvočísel) jednička u druhého prvočísla z páru jen v 18,5 procenta případů. Po trojkách a sedmičkách zase následovala jednička v 30 procentech případů a devítka byla následována jedničkou v 22 procentech případů.

Distribuce či korelace posledních číslic u po sobě jdoucích prvočísel zkrátka není čistě náhodná, takže ani sekvence prvočísel samotných není zcela náhodná. Na druhé straně, o čím vzdálenější a větší prvočísla jde, tím se charakter rozložení jejich posledních číslic více náhodě (tj. rovnoměrnému rozložení variant) blíží.

Výskyt uvedených nepravidelností autoři popsali pomocí jisté hypotézy, která zatím ještě nebyla exaktně dokázána. Její tvrzení přesto celkem dobře souhlasí s dosavadními numerickými daty, zpracovanými na počítačích. Na opravdu exaktní a úplný teoretický důkaz tohoto jevu si však zřejmě ještě několik desítek let počkáme.