Když výzkumníci požádali ChatGPT, aby zdvojnásobil plochu čtverce pomocí diagonály, model popsal správné řešení, avšak v rozšířeném zadání pro obdélník udělal chybu — tvrzením, že žádné geometrické řešení neexistuje. To vedlo výzkumníky k závěru, že AI ne pouze vytáhla známý výsledek z trénovacích dat, ale „improvizovala“. 

Starověký rébus: zdvojnásobení čtverce

Tento rébus byl znám už v klasické řecké filozofii: jak udělat čtverec se dvojnásobnou plochou vzhledem ke stávajícímu? Tento rébus byl znám už ve starověkém Řecku a řešili jej filozofové i žáci v Platónově Akademii – ukazovalo se, že prosté zdvojnásobení délky strany čtverce nestačí, ale je třeba využít úhlopříčku.— nýbrž strana nového čtverce musí odpovídat délce úhlopříčky původního. Tato myšlenka byla již diskutována v dílech Platóna jako výzva k pochopení geometrie skrz rozum, ne instinktivní přepisování. 

Výzkumníci zvolili právě toto zadání kvůli jeho historickému významu i obtížnosti — neexistuje jednoduchý alge­braický nebo elementární trik, který by někdo mohl ukládat do modelu a použít mechanicky. Cílem bylo otestovat, nakolik je model schopen „nového“ myšlení.

Jak ChatGPT přistoupil k problému

V experimentu výzkumníci nejprve zadali: „Zdvojnásob plochu čtverce“. ChatGPT odpověděl s popisem, že strana nového čtverce musí být rovna délce úhlopříčky původního čtverce — tedy strana × sqrt(2) — což je standardní geometrické řešení. Model to objasnil jak matematicky, tak slovně.

Pak byla výzva modifikována: „Uděláme totéž pro obdélník — zdvojnásob plochu pomocí úhlopříčky?“ Zde ChatGPT uvedl, že v případě obdélníku neexistuje vhodná geometrická konstrukce, která by fungovala stejným principem. To bylo překvapivé, protože geometrické konstrukce pro obecné obdélníky v některých případech existují, závisí na poměrech stran.

Výzkumníci — včetně Nadava Marca a Andrease Stylianidese — poznamenali, že pravděpodobnost, že takto specifická chyba byla obsažena v trénovacích datech, je „zanedbatelná“ — a spíše než doslovné vyhledání chyby v datech šlo o generování odpovědi „za běhu“. To je podobné tomu, jak člověk při učení může experimentovat, dělat chyby a odhadovat hypotézy. 

Chyba jako důkaz „učení-jako-procesu“

To, že model udělal chybu, je v tomto kontextu stěžejní — naznačuje, že nejde jen o mechanické vytahování vzorů, ale o jistou formu konstrukce hypotéz. Výzkumníci použili analogii ke vzdělávací teorii „zóna proximálního rozvoje“ (zone of proximal development, ZPD), což je rozdíl mezi tím, co student už umí, a tím, co by mohl naučit s pomocí. ChatGPT v tomto experimentu působil, jako by se pohyboval v této zóně — experimentoval, odhadoval, krizoval chyby.

Autoři studie varují, že výsledky nenaznačují, že AI „myslí jako člověk“. Ale přesto poukazují na to, že model má určitou flexibilitu, které jsme si dříve nevšimli – může generovat nové cesty řešení, ne jen přepisovat to, co už bylo v datech.

Význam pro AI, vzdělávání a matematiku

Tento experiment otevírá několik důležitých témat:

1. Validace AI-výroků: Odpovědi generované AI nemusí být vždy formálně korektní, i když působí přesvědčivě. Studenti, výzkumníci nebo učitelé by měli být schopni ověřit kroky, ne jen přijímat výsledek.

2. Učení a vývoj AI: Již nejde jen o velikost dat, ale i o to, jak AI dokáže „vymyslet“ nová řešení tam, kde data přímo neexistují — proces, který se blíží lidskému experimentování.

3. Prompt engineering jako pedagogika: Odpověď AI silně závisí na zadání a instrukcích. Správná formulace (např. „rozveď své úvahy“) může model „vést“ k lepším výsledkům.

4. Integrace AI do výuky: AI by mohla fungovat jako doplněk — nástroj, který podporuje zkoumání a odhalování postupů, místo aby jen dával hotová řešení.

Limity a opatrnost

Výzkumníci zdůrazňují, že jediné cvičení nestačí k generalizaci – ChatGPT může reagovat podobně u některých matematických témat, ale selhat u jiných, komplexnějších úloh. Také existuje riziko „overfitu“ — že model vychází z náhodných kombinací vzorů, které náhodně poskládá dohromady, místo skutečného „pochopení“.

Další výzkumy už ukazují, že výkonnost modelu v matematice je silně ovlivněna složitostí úlohy, nutností zobrazit mezikroky a provázaností proměnných. (Viz hodnocení ChatGPT na matematických slovech: ChatGPT má tendenci selhávat, když musí ukázat celý postup oproti situaci, kdy odpoví jen výsledkem.) 

Budoucí směr: AI + geometrii ≠ hranice

Tento experiment naznačuje, že budoucí modely by mohly kombinovat symbolickou matematiku, geometrické programy a učení — například propojení ChatGPT s dynamickými geometrickými systémy nebo systémy formálních důkazů. Taková integrace by mohla umožnit generování řešení, která jsou jak humanistická, tak rigorózně ověřitelná.

Výzkumníci plánují testovat širší spektrum historických či méně běžných matematických výzev, aby lépe pochopili, jak daleko může generativní model „vymýšlet“ nové řešení mimo rámec trénovacích dat.

Když ChatGPT čelil starověkému problému, nepředal jen naučený výsledek, ale zareagoval procesem, který připomíná lidskou úvahu — a udělal chybu. Ale právě tato chyba je klíčem k pochopení: AI dnes není pouze „kopírka dat“, ale experimentátor, který si může formovat hypotézy.

Tento experiment neříká, že AI „myslí“ jako člověk, ale otevírá cestu k novému chápání, jak by AI mohla doplňovat lidské myšlení. Kde je hranice mezi učením a improvizací? A jak využít tento potenciál v matematice, výuce, výzkumu? Příběh starověkého rébusu a moderní AI je výzvou pro novou generaci nástrojů poznání — a připomínkou, že i chyby mohou být víc než omyly — mohou být učiteli.