Matematika zabývající se trojúhelníky (trigonometrie) nezačala tím, že staří Řekové studovali oblohu. Používali ji už staří Babyloňané, když vyměřovali pozemky. Důkaz obsahuje hliněná tabulka, na které je nejstarší známý geometrický záznam.

Artefakt, dlouhá léta zahrabaný mezi haraburdím ve skladu istanbulského muzea, se dochoval z éry starověké Mezopotámie, z období před 3900 lety.

Starověký Babylon s bájnou věží. | zdroj: Profimedia

Na tabulce je popsán vztah mezi stranami v pravoúhlém trojúhelníku. Je dokladem, že Babyloňané znali základy trigonometrie víc než tisíc let před tím, než se narodil řecký matematik a filozof Pythagoras, jehož jméno je spojováno s poučkami o vlastnostech stran pravoúhlého trojúhelníku. A také je uměli využít.

Obyvatelé Babylonu uplatňovali znalostí tohoto geometrického tělesa nejen při stavbě chrámů, ale i při každodenních činnostech. Třeba tehdy, když potřebovali ohraničit pozemek.

Na katastru v Babylonu

Tabulku označenou Si.427 ze skladu muzea vytáhl a zkoumal australský matematik Daniel Mansfield z univerzity Nový Jižní Wales v Sydney. Ve studii vydané časopise Foundations of Science dospěl k závěru, že obsahuje nejranější příklad komplexní geometrie na světě.

Na destičce je katastrální záznam, tedy zápis o vlastnictví půdy, která byla rozparcelována a prodána. Mansfield zjistil, že technicky zdatný babylonský zeměměřič použil typ trigonometrie, který je v současnosti známý jako pythagorejské trojice, aby vytvořil pravé úhly.

Plán pozemku využívá trojice čísel, které odpovídají délce stran pravoúhlého trojúhelníku. Tyto celočíselné kombinace jsou leckde dodnes využívány při vyměřování pravého úhlu na stavbě pomocí jednoduchého provázku s uzly ve stejných vzdálenostech.

Čísla Pythagorejské trojice dnes odvozujeme z Pythagorovy věty, která definuje pro strany pravoúhlého trojúhelníka vztah:  c² = a² + b². Slovy: součet obsahů čtverců nad odvěsnami se rovná obsahu čtverce nad přeponou.

Vzorci odpovídají například čísla 5² = 4² + 3², zobrazená v animaci, anebo 13² = 12² + 5².

Animace znázorňující nejjednodušší pythagorejskou trojici. | zdroj: /Wikimedia/CC BY-SA 3.0

Moje zem, tvoje zem

„Destička Si.427 pochází z období, kdy se země začíná stávat soukromou. Lidé v tehdejší Mezopotámii (oblast, která ležela převážně v dnešním Iráku) začali přemýšlet o půdě ve smyslu ‚moje zem, tvoje zem‘. Vytvořit přesnou hranici proto bylo důležité pro dobré sousedské vztahy,“ popsal Mansfield smysl zápisu pro web Eurek Alert.

Mansflield už v roce 2017 zkoumal jinou tabulku s klínopísmovým záznamem z Mezopotámie – Plimpton 322. Rozpoznal v ní v ní ranou trigonometrickou tabulku se seznamem pythagorejských trojic, nikoli v desítkové, ale šedesátkové soustavě.

Tehdy však matematik netušil, jaké měl Plimpton 322, který je o něco mladší než Si.427, praktické využití. Teď je zřejmé, že byl používán při rozměřování parcel a patrně i ve stavebnictví.

Hliněná tabulka ze starého Babylonu obsahující pythagorejské trojice. | zdroj: Profimedia