Pozorně se dívejte, jak vypadá první dlaždice, která může pokrýt plochu, aniž by se vytvořil opakující se vzor (na náhledovém snímku). Jednotlivé nepravidelné třináctiúhelníky se zasouvají samy do sebe a vytvářejí nekonečné, rozšiřující se vzory označované jako neperiodické dlaždice.

Craig Kaplan and his colleagues have captured the interest of the international mathematics community and the @nytimes by solving a long-standing open problem — demonstrating the existence of an "einstein," a single shape that can be tiled aperiodically. https://t.co/CSARW1jmyO pic.twitter.com/8nULtWlZWM

— Waterloo's Cheriton School of Computer Science (@UWCheritonCS) March 28, 2023

Cílem byl ‚jeden kámen‘, tedy ‚ein stein‘

Déle než půlstoletí si věhlasní matematici a nejrůznější koumáci lámali hlavy nad tím, jak navrhnout jediný tvar, který by obložil plochu tak, aby na ní nezůstaly mezery nebo nevznikly překryvy a přitom se vzor neopakoval.

U opakujícího se vzoru to je snadné. Můžete se přesvědčit na vaší podlaze v koupelně nebo kuchyni, která je patrně tvořena jednoduchými obdélníkovými či čtvercovými dlaždicemi.

Kdybyste podlahu zvedli a posunuli, našli byste místo, kde vypadá úplně stejně jako předtím, což dokazuje, že máte opakující se, tedy periodický vzor. Neperiodický (neopakující se) vzor znamená, že dlažba není symetrická vůči posunu.

Úloha, kterou se matematici snažili vyřešit desetiletí, se dá formulovat takto: Najděte takový tvar dlaždice, kterým by se dal vyplnit nekonečný prostor, aniž by se začal vzor při posunutí opakovat.

Úkol dostal název einstein. Byla to slovní hříčka, která obsahovala příjmení geniálního fyzika, zároveň však byla formulována jako německý výraz „ein stein“, tedy jeden kámen.

Dlouhá cesta přes rozbouřené tvary

Zpočátku řešili matematici jednodušší „dlaždicovou“ úlohu: Vytvořte skupinu dlaždic, kterými vyplníte nekonečný prostor bez opakování.

V roce 1961 vyslovil matematik Hao Wang názor, že takové dlaždice neexistují. Jeho student Robert Berger ho však vyvedl z omylu. Nalezl neperiodickou množinu 20 426 dlaždic.

To znamená, že kdybyste si koupili sadu těchto dlaždic, mohli byste je rozmístit na podlaze v kuchyni a nikdy byste na ní nenašli opakující se vzor. Počet rozdílných dlaždic byl vysoký. Berger jej však postupně dokázal stáhnout na 104.

V sedmdesátých letech minulého století se úlohou zabýval věhlasný fyzik Roger Penrose, nositel Nobelovy ceny. Usiloval o to, aby nalezl tvar pro einstein.

V roce 1978 dokázal stáhnout na počet tvarů dlaždic na dva. Na einsteinovi si však „vylámal zuby“. Stejně jako další vědci.

Do úlohy se ale pustil také David Smith, 64letý tiskařský technik na penzi z anglického hrabství East Yorkshire. O enstein se prý obsedantně zajímal. „Stále si hraji a experimentuji s tvary,“ řekl deníku The New York Times. Přiznal také, že ho matematika na střední škole bavila, ale vůbec v ní nevynikal.

Smith si pohrával s tvary na počítači pomocí softwaru PolyForm Puzzle Solver, který vyvinul Jaap Scherphuis, nadšenec do dlaždic a teoretik hlavolamů z univerzity v nizozemském Delfu. Když mu přišlo, že našel tvar, který je nadějný, vyřízl ho ze čtvrtky. Tak získal 32 kusů, s nimiž skládal puzzle, a zjišťoval, zda se vzory nezačnou periodicky opakovat, když je posune.

Explore the newly discovered aperiodic monotile found by David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, & Chaim Goodman-Strauss!

Can you tessellate the plane with these? Explore & make your own design! https://t.co/IURkackJrz @geogebra #MTBoS #ITeachMath #geometry #math pic.twitter.com/Nn0eN3Fwor

— Tim Brzezinski (@TimBrzezinski) March 30, 2023

Po letech našel dlaždici o 13 stranách, která se zdála být einsteinem. Napsal tedy e-mail počítačovému vědci Craigu Kaplanovi z univerzity ve Waterloo kanadském Ontariu: „Tohle by mohla být odpověď na problém einstein – to by bylo něco, že?“ 

Kaplanův počítačový model naznačil, že Smith našel správné řešení. Potřebný však byl matematický důkaz, na kterém s Kaplanem spolupracovali další dva vědci. Ten potvrzuje pravdivost Smithova objevu. Je publikován ve vědecké databázi arXiv a (v PDF) verzi zabírá 89 stran.

Thanks soooo much for such a wonderful explanation! https://t.co/2we2ibtRZ9

— Craig S. Kaplan (@cs_kaplan) March 30, 2023

Vědci ve studii nazvali třináctiúhelníkový einstein kloboukem. Prý jim připomíná klobouk typu fedora.

Nobelista Penrose Smithův einstein pochválil a pravil, že ho nesmírně zaujal. „Je to opravdu dobrý tvar, pozoruhodně jednoduchý,“ cituje ho deník The New York Times.

A komu tím prospějete, co?

Na tuto klasickou otázku je jednoduchá odpověď: Neperiodické vzory nejsou pouhou matematickou kuriozitou. Pomáhají fyzikům a chemikům pochopit strukturu a chování kvazikrystalů – struktur, v nichž jsou atomy uspořádány, ale nemají opakující se vzor.

Penroseho neperiodické dlaždice využili konstruktéři třeba v kvazikrystalech na povrchu pánví, v chirurgických nástrojích a v LED svítidlech. Obdobné využití může mít i Smithův einstein.